CONCEPTOS DE POLÍGONOS

Clasificación de los polígonos según su contorno

Algunos ejemplos de varios tipos de polígono.

Clasificación de los polígonos según la forma de su contorno.
Polígonos Simples Convexos Regulares Irregulares Cóncavos Complejos

Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar la siguientes clasificaciones.

• Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.
• Complejo o Cruzado , si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
• Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos menores que 180º es convexo.
• No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.
• Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.
• Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.
• Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.
• Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
• Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.
• Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.
• Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos  o .
• Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
• Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
• Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick).

TIPOS Y CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS

La palabra polígono procede del griego. En griego, poli significa muchos y gonos significa lados.

 

PARTES DE UN POLÍGONO

De un polígono debes conocer los componentes siguientes:

Lados: son los segmentos que lo limitan.
Ángulos interiores: los que forman dos lados contiguos.
Vértices: los puntos donde coinciden dos lados.
Diagonales: las rectas que unen dos vértices que no sean consecutivos.

CLASES DE POLÍGONOS:

Podemos clasificar a los polígonos teniendo en cuenta:
1.- sus lados.

Los polígonos según el número de lados que tienen reciben nombres diferentes.

Un polígono o figura cerrada necesita al menos tres lados porque con menos no puede cerrarse un área, una superficie.

Tienes a continuación una Tabla con los nombres de los polígonos según el número de lados:

Número de lados	Nombre del polígono
1	no existe
2	no existe
3	triángulo
4	cuadrilátero
5	pentágono
6	hexágono
7	heptágono
8	octógono
9	eneágono
10	decágono
11	endecágono
12	dodecágono
13	tridecágono
14	tetradecágono
15	pentadecágono
16	hexadecágono
17	heptadecágono
18	octodecágono
19	eneadecágono
20	isodecágono
30	triacontágono
40	tetracontágono
50	pentacontágono
60	hexacontágono
70	heptacontágono
80	octacontágono
90	eneacontágono
100	hectágono
106	megágono
10100	googólgono

 Sus ángulos:

Pueden ser cóncavos y convexos.
Recuerda que un ángulo convexo vale menos de 180º o dos rectos y un cóncavo más de 180º o dos rectos.Un polígono es convexo cuando sus ángulos valen menos de 180º.
Un polígono es cóncavo cuando tiene, por lo menos, un ángulo cóncavo o mayor que 180º.

Ejemplos:

3) Igualdad de lados y ángulos:

Cuando un polígono tiene sus LADOS Y ÁNGULOS iguales se llaman polígonos REGULARES.
Si los lados y ángulos no tienen la misma medida se llaman polígonos IRREGULARES.

Ejemplos:

REGULARES:

IRREGULARES:

Teoremas De Ángulos En Polígonos Y Formulario

FÓRMULAS SOBRE TEOREMAS DE POLÍGONOS”.

✿  Teorema No. 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n-2), donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono.

EJEMPLO:

• Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular.

Suma de ángulos interiores    = 180(n-2)

Suma de ángulos interiores      = 180(5-2)

Suma de ángulos interiores      = 180(3)

Suma de ángulos interiores      = 540°.

✿  Teorema No. 2. Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos interiores entre “n”.

Ángulo interior = 180(n-2)

                               n

EJEMPLO:

• Calcular el ángulo interior de un pentadecágono (15 lados) regular.

Ángulo interior = 180(n-2) = 180(15-2) = 180(13) = 2340 = 156°

                                 n                15             15           15

✿  Teorema No. 3. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°.

Ángulo exterior = 360°

                                 n

EJEMPLO:

 • Calcular el ángulo exterior de un triángulo.

Ángulo exterior = 360° = 360° = 120°

                              n          3

✿  Teorema No. 4. El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un polígono es igual al producto de n(n-3) y todo ello dividido entre 2.

# de / = n(n-3)

              2

EJEMPLO:

• Calcular el número de diagonales de un pentágono regular.

# de / = n(n-3) = 5(5-3) = 5(2)= 10 = 5 diagonales.

               2             2          2       2

Formulario De Polígonos

Teoremas Para El Cálculo De Angulos Y Diagonales De Los Poligonos

Propiedades de los polígonos regulares

Polígono

Un polígono es una figura plana (bidimensional) cerrada con lados rectos. Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.

Regular

Un "polígono regular" tiene todos los lados iguales y todos los ángulos iguales. Si no, es irregular.

Pentágono regular	Pentágono irregular

Ángulo interior El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula: (n-2) × 180° / n Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es: (8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135° Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°

Ángulo exterior Los ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°. Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interior El ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45° El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es180°-120° = 60°

Diagonales Todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales(líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados). El número de diagonales es n(n - 3) / 2. Ejemplos: un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonales un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales (Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)

PROBLEMAS DE ÁREAS Y PERÍMETROS EN EL CÍRCULO

Perímetro y área del círculo

El perímetro de un círculo es llamado circunferencia y se define por:

$C$ = 2 π r = πⅆ

donde r es el radio, d el diámetro y $\pi$ ≈ 3.141592654 . 

$A$ = π r 2 = π ( d2 ) 2

La circunferencia es igual a el perímetro

El área de un círculo con radio r y diámetro d es

LUGARES GEOMÉTRICOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad.
La Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un punto de la circunferencia se llama radio. 

CÓNICAS 
La elipse: es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, es constante → d(P, F) + d(P, F´) = constante   

Elementos de una elipse Eje focal a la recta que pasa por los dos focos.
 Eje secundario es la mediatriz del segmento que determinan los focos.
 La elipse es simétrica respecto de ambos ejes.
 Centro es el punto de corte de los dos ejes. 
Los vértices de la elipse A, A´, B, B´ son los puntos de corte de ésta con los ejes. 
El segmento AA´ se llama eje mayor; su valor es 2a. 
El semieje mayor es a. Al segmento BB´ se le llama eje menor. Su valor es 2b. 
El semieje menor es b. 
La distancia entre los focos se llama distancia focal y vale 2c: la semidistancia focal es c. 
La relación entre a, b y c es: a 2 = b2 + c2 


La hipérbola: es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que la diferencia de sus distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, es constante. Esto es, si P pertenece a la hipérbola: d(P,F) − d(P,F´) = constante.



La parábola: es el lugar geométrico de los puntos del plano P que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija δ , llamada directriz. Esto es, si P es un unto de la parábola se cumple que: d(P,F) = d(P,δ)  

Teoremas Relacionados Con Ángulos Dentro Y Fuera De La Circunferencia.

1 Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

2 Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

3 Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

4 Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

5 Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella: